Estrellas
Al prolongar los lados de un triángulo las rectas no se cortan pues dos rectas se cortan en un punto y no cabe que haya otro punto de corte, lo mismo pasa en el cuadrado.
Al prolongar los lados de un pentágono obtenemos un pentagrama, tenemos 5 puntos de corte en la prolongación de los lados, aunque no volverán a cortarse.
Si cogemos un hexágono regular obtenemos una estrella de seis puntos llamada hexagrama, si cogemos heptágono obtendremos una estrella de 7 puntas, si cogemos un octógono uno de 8 puntas y de 9 si cogemos un eneágono.
Para estrellar un polígono hemos cogido sus lados y los hemos prolongado, aunque se puede estrellar el polígono continuando o prolongando los lados hasta que ya no se corten más.
En la primera intersección obtenemos la primera estrella, en la segunda intersección la segunda estrella, luego la tercera, etc., todo esto concluye en el momento que no aparezcan nuevos puntos de intersección.
En esta imagen observamos en la parte superior los polígonos regulares desde 3 a 7 lados con su circunferencia circunscrita.
En la franja inferior observamos que esos mismos polígonos se han girado de manera que cada uno de sus vértices pasa a estar en la mediatriz de cada lado, estando también inscritos en la misma circunferencia.
En el primer caso vemos un triángulo y su simétrico central que provoca un hexagrama, es realmente una estrella formada por la conjunción de los dos polígonos y tiene por tanto seis vértices que son los que corresponden a los picos más salientes del hexaedro.
Tenemos en el segundo caso un cuadrado que se ha girado 45° tomando como centro el de la circunferencia, obtenemos ahora una estrella de ocho lados, lo mismo hacemos en el centro con el Pentágono para obtener una estrella de 10 lados y así con los otros dos de 12 y 14 lados respectivamente.
En la imagen hemos cogido en el número 9 el Pentágono y lo hemos girado 36° para obtener los dos pentágonos que provocan la estrella de 10 lados, es la que aparece al final en el número 3, también contemplado en la imagen anterior.
Como podemos observar en el número 2 la intersección de los dos pentágonos genera un decágono y la prolongación de los lados de ese decágono genera la estrella de 10 lados.
Podemos obtener esa primera intersección que es realmente la figura 2 si tenemos en cuenta los triángulos blancos pero podemos seguir prolongando todos los lados del decágono de manera que obtenemos la figura 1, En el caso naranja tenemos la primera intersección con los triángulos que generan la figura igual a la número 3 (con triángulos en color naranja), al seguir prolongando los lados tenemos la segunda intersección que corresponde a los triángulos en color azul, por último prolongamos los lados que se cortan generando los triángulos en amarillo, hemos cogido solo cinco para generar un pentagrama en el contorno pero realmente el resultado de esa operación sería el número 6, que contiene a todas las prolongaciones de los lados con los 10 triángulos finales en color ocre,
Según los puntos que unamos podemos obtener distintas versiones estrelladas para las figuras, tenemos por ejemplo en el número 5 que es realmente el mismo caso que el número 6, pues hemos unido un vértice con otro dejando tres en el medio, mientras que en el número 7 hemos contado las distintas intersecciones y por ejemplo desde el número superior contamos los azules y dejamos cuatro azules tomando como recta desde el punto superior hasta el que queda inmediatamente después del cuarto vértice del pico azul, tanto a la derecha como a la izquierda, como podemos observar al hacer una traslación y dejar registro de todas esas líneas aparecen de forma alterna los picos en azul y el amarillo, lo mismo pasa en el número 8 pero desde el vértice superior azul hemos cogido después de tres vértices azules el siguiente amarillo y su simétrico respecto a la vertical que pasa por el centro de la circunferencia y otra vez obtenemos de esta manera de manera alterna los picos en color azul y amarillo.
En esta página observamos sobretodo la generación de los poliedros estrellados regulares llamados sólidos de Kepler-Poinsot.
Los de Kepler se llaman pequeño dodecaedro estrellado y gran dodecaedro estrellado, y los de Poinsot gran icosaedro y gran dodecaedro.
Los poliedros de Kepler-Poinsot, como observamos en las animaciones, se pueden construir a partir de los sólidos platónicos dodecaedro e icosaedro o desde la transformación de cualquiera de los de Kepler-Poinsot, bien mediante un proceso usual de achaflanado o también por extensión de aristas y vértices, entre otros.
En el borde superior derecho vemos el dodecaedro en color dorado en planta, alzado y perfil. A partir de la planta tenemos una vista auxiliar A de la que luego sacamos otra auxiliar B.
Por último tenemos también a partir de la vista en planta otra vista auxiliar C.
Si nos fijamos en la posición de las distintas proyecciones del dodecaedro regular tenemos a la izquierda en color rosa el pequeño dodecaedro estrellado, está construido a partir del poliedro anterior pero aumentando caras piramidales regulares de base pentagonal.
Estas caras de las pirámides son realmente las prolongaciones de las caras del dodecaedro.
Como tiene 12 caras, el pequeño dodecaedro estrellado tendrá 12 pirámides repartidas sobre cada una de las caras.
Con el icosaedro hacemos exactamente lo mismo, tomamos las vistas según las mismas proyecciones definidas por las direcciones de las aristas en planta y sobre la proyección que corresponde a la vista C.
A la izquierda tenemos en color verde el gran dodecaedro estrellado, análogamente al caso anterior está formado a partir del poliedro anterior, el icosaedro regular en color azul oscuro, al que se le añaden pirámides verdes cuyas caras son la prolongación de cada una de las caras del icosaedro regular.
Como tiene 20 caras, el poliedro estrellado tendrá 20 pirámides sobre esas caras.
En el borde superior izquierdo vemos una estrella octangular, es un poliedro estrellado y también poliedro compuesto de dos tetraedros regulares de manera que una línea vertical que pasa por el centro de las figuras incide en la mitad de aristas opuestas que se cruzan ortogonalmente.
Como podemos ver un poliedro puede ser estrellado y al mismo tiempo puede ser compuesto, pero también lo podemos obtener al girar una figura alrededor de otra y en torno al mismo centro. Si cogemos el tetraedro azul y lo giramos 90 grados dejando registro de la nueva figura obtenemos la estrella octangular y la intersección de ambos poliedros es la figura que aparece inmediatamente debajo, un octaedro regular que es un poliedro regular con 8 caras que son triangulares equiláteras y es también una figura llamada dipirámide, que es una figura dual del prisma ya que si cogemos los puntos medios de las caras de un prisma recto de base cuadrada obtenemos esta figura.
En el número 1 obtenemos el tetraedro apoyado en una cara, es realmente una pirámide a la que superponemos en el número 2 otra pirámide girada 90 grados, de manera que el vértice superior de la pirámide azul está alineado en una vertical con el vértice de la pirámide roja, de esta manera obtenemos en la intersección el octaedro regular que aparece en el número 3.
Como la Pirámide Roja tiene una cara superior horizontal y es común al triángulo azul, que se ve centrado en la figura número 2, necesariamente la figura 3 tendrá esa cara triangular horizontal y en verdadera forma mientras que en su base tendrá una cara igual pero girada 180 grados, en consecuencia la unión de esas figuras producen por contorno un hexágono regular, el que aparece en la figura 3, que podría ser la planta de el octaedro regular.
En color verde a la derecha en el borde superior observamos el octaedro con un eje de revolución, al hacer el giro del octaedro en torno a ese eje y dejar registro de tres octaedros regulares obtenemos en el borde superior izquierdo las tres pirámides que aparecen en planta, alzado y perfil y debajo de este último la perspectiva axonométrica de las tres figuras entrelazadas.
En la intersección de los tres octaedros obtenemos otra dipirámide pero de 12 caras triangulares para cada una de las pirámides que la conforman, es la figura que aparece en el borde inferior derecho en planta, alzado y perfil.
Construcción de poliedros estrellados por prolongación de caras
En los cuatro siguientes casos ponemos ejemplos de cómo construir poliedros a partir de otros al prolongar sus caras.
Por regla general no es un procedimiento que sirva para construir poliedros estrellados, pero nos sirve para ver relaciones entre distintos poliedros y considerar propiedades que pueden ser de poliedros estrellados.
Por ejemplo, si cogemos un icosaedro al prolongar sus caras obtenemos el gran dodecaedro estrellado, también al colocar pirámides sobre sus caras de manera que los lados de las pirámides coincidan con caras de la figura.
En el caso siguiente procedemos de igual forma, si cogemos el cuboctaedro y prolongamos sus lados obtendremos pirámides en caras adyacentes. Realmente no se considera que la nueva figura que se forma, que es un octaedro, pueda ser un poliedro estrellado pero sí que puede considerarse un procedimiento genérico para poder construir poliedros estrellados descartando algunas propiedades, para el caso que nos ocupa las pirámides formadas tienen sus lados coincidentes por lo que la figura es enteramente convexa, muy lejos de la apreciación intuitiva de lo que es un poliedro estrellado.
En el borde superior izquierdo observamos un octaedro regular al que se le han cortado todas las esquinas por la mitad de cada arista de manera que tal y como vemos a su derecha queda un cuboctaedro con varias pirámides de base cuadrangular regular.
Hemos hecho un truncamiento y puede ser la operación inversa de la construcción de poliedros estrellados, a saber, si tomamos el cuboctaedro y por sus caras verdes continuamos los planos, la intersección de los mismos provoca en cada esquina cada una de las pirámides, es una técnica para hacer poliedros estrellados, prolongar las caras hasta que se corten.
Aunque es un método utilizado genéricamente no se viene diciendo que un octaedro es un poliedro estrellado ya que es directamente un poliedro regular y nadie lo considera como construido a partir del cuboctaedro que es un poliedro arquimediano, más bien se hace lo contrario, del cubo obtenemos y por truncamiento de tipo 1( por la mitad de la arista) se obtiene el cuboctaedro.
Para una mejor comprensión de ambas figuras en la parte restante del dibujo se representa siempre en planta, alzado y perfil el octaedro a la derecha y el cuboctaedro en su misma posición a la izquierda, de esta manera podemos observar la regularidad que se observa por ejemplo en el borde superior derecho, tres cuadrados en planta alzado y perfil para el cuboctaedro y otros 3 cuadrados pero con la diagonal vertical para el octaedro regular en su caso correspondiente.
Tomamos nuevamente el poliedro compuesto formado por el icosaedro y el dodecaedro de la figura anterior y su envolvente convexa que es el triacontaedro rómbico ( poliedro de Catalan).
En el número 1 tenemos las tres vistas en diédrico del triacontaedro rómbico, al igual que las otras dos figuras que mostramos en diédrico tienen la planta y el perfil exactamente iguales mientras que el alzado es también una proyección idéntica pero girada 90 grados.
Si cogemos la del número 2, es el rombicosidodecaedro (poliedro arquimediano) famoso por ser el balón de fútbol que ha sustituido al antiguo icosaedro truncado por tener más esfericidad.
Lo podemos obtener por ejemplo a partir de un dodecaedro al que le cortamos los vértices y las aristas, al achaflanar estos extremos obtenemos el poliedro arquimediano.
Por último en el número 3 tenemos el poliedro compuesto del dodecaedro e icosaedro (ambos poliedros regulares duales).
En la franja inferior encerrada en un rectángulo verde hemos puesto en el número 4 y 5 la proyección en planta del triacontaedro rómbico, en el 6 hemos puesto otra vez el rombicosidodecaedro y en el 7 el poliedro compuesto.
En el número 4 hemos marcado los vértices del triacontaedro rómbico, como podemos observar coinciden exactamente con los vértices salientes del poliedro compuesto del número 7, eso quiere decir que por cada uno de esos 4 puntos podemos hacer los rombos que definen el poliedro de Catalan, por cierto al igual que todos los poliedros de Catalan tendrá las caras exactamente iguales.
Si observamos el número 5 es realmente otra vez el triacontaedro rómbico del que hemos cogido los puntos medios de sus aristas, al unir sus puntos obtenemos las aristas del rombicosidodecaedro.
Podemos ver las estrechas coincidencias que hay entre tres poliedros de distintas clasificaciones.
En la figura número 3 tenemos un poliedro compuesto del dodecaedro que está en la figura 1 y del icosaedro que está en la figura 2. Las tres figuras están en sistema diédrico.
El dodecaedro e icosaedro son poliedros duales, si tomamos los puntos medios del dodecaedro obtenemos el icosaedro y recíprocamente si tomamos los puntos medios del icosaedro tenemos el dodecaedro.
Por tanto al hacer la composición de los dos tenemos un poliedro compuesto dual, la intersección de ambos poliedros genera un icosidodecaedro, que es un poliedro arquimediano formado por 12 pentágonos regulares y 20 triángulos equiláteros, es la figura que aparece en el número 8 en perspectiva axonométrica y el número 12 en sistema diédrico.
Si tomamos la figura 3 que es el poliedro compuesto y marcamos los puntos exteriores tal y como se ve marcados en la Figura 10, al pasar por los puntos caras de un poliedro obtenemos el triacontaedro rómbico que es un poliedro de Catalan y que aparece en la figura 11. Este procedimiento es lo que se llama la generación del poliedro mediante la envolvente convexa que consiste en coger los puntos externos del poliedro compuesto como hicimos en la Figura 10.
Si tomamos los dos poliedros icosaedro y dodecaedro del número 1 y 2, en perspectiva axonométrica los tenemos en el 4 y 5, al superponerlos obtenemos la unión de ambos poliedros que es el compuesto dual del dibujo de número 3 en diédrico, en perspectiva lo tenemos en el número 7.
Si al icosaedro le quitamos el dodecaedro nos queda la figura del número 6, una figura compuesta por numerosas pirámides de base pentagonal.
Si ahora hacemos el proceso contrario, del dodecaedro le quitamos el icosaedro obtenemos la figura del número 9 que está formada por pirámides de base triangular.
Cuando tomamos un poliedro compuesto y obtenemos la intersección de los dos poliedros decimos que es el núcleo del poliedro compuesto, en este caso ya vimos que era la intersección de ambos que es el icosidodecaedro, poliedro arquimediano que también lo podemos obtener al cortar ambos poliedros por los puntos medios de cada una de sus aristas, lo que se dice un corte de tipo 1.
En el número 1 tenemos el icosidodecaedro que es la intersección del dodecaedro e icosaedro, números 5 y 6 respectivamente.
En el número 2 hemos cogido el icosidodecaedro en color amarillo - misma figura que la del número uno pero en un solo color- y le hemos añadido sobre las dos caras distintas (triángulo equilátero y pentágono regular) dos prismas rectos. Al prolongar las caras adyacentes tenemos planos que cortan a los prismas de manera que generan pirámides como en el número 3.
En el caso del prisma pentagonal las caras que prolongamos adyacentes son los 5 triángulos anejos, mientras que en el caso del prisma triangular prolongamos las 3 caras pentagonales regulares adyacentes.
El conjunto de los planos definen caras de pirámides que aparecen en el número 3 en color rojo y magenta.
Realmente si ahora añadimos todas esas pirámides a las caras obtendremos la figura número 7 que es la composición del dodecaedro e icosaedro, recíprocamente si al número 7 le quitamos las pirámides obtenemos el icosidodecaedro.
Si al número 7 le quitamos solo las pirámides verdes nos quedamos con el dodecaedro mientras que si al número 7 le quitamos solo las pirámides magentas nos quedamos con el icosaedro.
Como vemos los cuatro poliedros están íntimamente relacionados, el icosaedro y dodecaedro, número 6 y 5 por ser poliedros duales, la composición de los mismos que genera el poliedro compuesto número 7 qué es también un poliedro estrellado, y la intersección del número 5 y 6 del que obtiene el icosidodecaedro y que es exactamente el poliedro estrellado pero sin las pirámides.
Podemos coger el rombicuboctaedro que es un poliedro arquimediano y prolongar las caras hasta que se corten según pirámides de bases cuadradas y triangulares.
Realmente al rombicuboctaedro al que le añadimos esas pirámides lo convertimos en un dodecaedro rómbico que es un poliedro de Catalan.
En la figura azul de la izquierda vemos las proyecciones del rombicuboctaedro mientras que el de Catalan lo vemos en el centro en color verde, a la derecha están en la planta y alzado, en la derecha de todo tenemos la planta y alzado del dodecaedro rómbico que incluye al rombicuboctaedro, como podemos observar los vértices del arquimediano pasan por los puntos medios de las aristas de los rombos del rombicuboctaedro.
De forma general en casi todos los poliedros podemos prolongar las caras y obtener pirámides en la intersección de esos planos extendidos, la intersección de los planos genera pirámides sobre las caras. Siempre hay excepciones como el caso de un cubo que por tener las caras paralelas y no cortarse no provocan pirámides sino prismas.
Realmente no se puede decir que en dodecaedro rómbico sea un poliedro estrellado a partir del rombicuboctaedro pero sí que nos sirve para pensar en el procedimiento para pasar de un poliedro a su estrellado y empezar a descartar algunos estrellados según las propiedades que tengan.
Construcción de poliedros estrellados al incorporar una pirámide apoyada en cada una de sus caras
Tenemos un rombicuboctaedro en el número 1 al que le añadimos un cubo.
Al prolongar las caras cuadradas adyacentes al cubo obtenemos 4 planos que acotan una pirámide, tal y como se ve en el número 2. Distribuimos a lo largo del plano meridiano la pirámide sobre las caras como en el número 3. Hacemos lo mismo en el plano ortogonal y tenemos el número 4, lo mismo por el plano horizontal y tenemos el 5.
Tomamos en el número 6 una cara triangular y la extruimos provocando el prisma verde apoyado en una cara, lo cortamos por los planos adyacentes definidos por los cuadrados laterales y obtenemos la pirámide que distribuimos a lo largo de las caras triangulares del rombicuboctaedro, de esta forma obtenemos las figuras 7 y 8 que son perspectivas del rombicuboctaedro estrellado.
Tenemos en el número 1 el polígono estrellado del ejercicio anterior, está formado a partir del rombicuboctaedro que es en diédrico la figura del número 4, al añadir pirámides a sus caras según el procedimiento explicado en la imagen anterior obtenemos el poliedro en diédrico del número 3, en las perspectivas 2 y 5 tenemos el rombicuboctaedro estrellado mientras que en la 6 tenemos el rombicuboctaedro.
En el número 1 observamos un dodecaedro rómbico estrellado. Se ha obtenido por el método del ejercicio anterior, prolongando las caras del dodecaedro rómbico que aparece en el número 2; este poliedro es de Catalan y tiene todas las caras iguales, son rombos idénticos de los que al tomar el punto medio de cada cara rómbica obtenemos el poliedro de la figura anterior, el cuboctaedro, es una propiedad que se da en los poliedros duales, pero solo en el caso del poliedro de Catalan, que contiene al poliedro arquimediano, esto es el dodecaedro rómbico que contiene al al cuboctaedro y no recíprocamente.
En el número 2 observamos el dodecaedro rómbico y las marcas del cubo que definen la posición de las proyecciones de las aristas de la figura, tal y como se ve en el número 4, es la posición del cubo que circunscribe a la figura, mientras que en el número 3 se ha prescindido de poner las líneas del cubo para que quede más clara la figura.
Curiosamente esta figura se puede representar en planta, alzado y perfil con contorno de 3 cuadrados.
En el número 5, 6 y 7 aparecen las perspectivas axonométricas de los poliedros correspondientes al 2, 3 y 4.
Como decíamos al principio al prolongar las caras del dodecaedro rómbico se obtiene el dodecaedro rómbico estrellado, en el número 12 observamos una perspectiva de las dos figuras que se podrían superponer en las que se puede ver efectivamente que la prolongación de las caras provoca esas pirámides de base en rombo.
En el número 11 observamos las dos figuras superpuestas, el poliedro estrellado y el rombododecaedro o dodecaedro rómbico, el primero se puso en modo alámbrico para que se diferencie bien por donde pasan las aristas y los vértices respecto al poliedro de Catalan.
Este poliedro estrellado del número uno tiene una curiosa propiedad y es que al apilar unos cuantos poliedros iguales podemos llenar todo el espacio sin dejar huecos, por ejemplo vemos en el número 3 la disposición de manera que la forma externa de cada una de las figuras en 2 aristas que van a ser tangentes y con la forma de signo +, se ponen en contacto y de esta manera podemos agruparlos como vemos en el caso 9, los huecos que van dejando al unir las figuras sirven para ir uniendo otros poliedros como se ve más claro en el nº 10.
Volvemos a ver el ejercicio anterior y una más clara construcción, partimos del dodecaedro rómbico del número 1, imaginamos por las dos caras verdes superiores que pasamos líneas por el centro de sus caras, ambas rectas se cortan en un punto que va a ser el vértice de la pirámide, tal y como observamos en el número 2 y en el número 3 ya con la proyección del vértice sobre la cara.
En el número 4 observamos otra perspectiva del dodecaedro rómbico y observamos un fallo frecuente en el número 5, al intentar adherir una pirámide a la cara roja superior vemos que no encaja ya que realmente no tiene un cuadrado de base como pasa en casi todos los poliedros que venimos utilizando y que son polígonos regulares, en este caso tenemos un rombo, por lo que la solución será lo que aparece en el número 6, un prisma extruido sobre esa cara y al prolongar las caras adyacentes obtenemos planos que se cortan según la pirámide incidente sobre la cara superior y que aparece en el número 7.
En el número 8 y 9 aparecen distintas proyecciones en diédrico del dodecaedro rómbico mientras que en el número 12 y 13 aparece el poliedro estrellado y el arquimediano según la disposición que encajaría perfectamente si se superpusieron.
En el número 17, 15 y 16 aparecen otra vez los dos poliedros, el estrellado y el dodecaedro rómbico, en el número 10 y 14 aparecen dos perspectivas del poliedro arquimediano y en el 11 otra perspectiva axonométrica del que aparece en el número 7, que es realmente el dodecaedro rómbico al que se le ha añadido una pirámide a una cara, para obtener el estrellado al final habrá que sumarle una pirámide a cada cara, de esta manera obtendremos el poliedro que sale en la Figura 12 en planta, alzado y perfil.
El antiprisma estrellado
Podemos observar la construcción deltoedro a partir de la figura 1, un prisma recto que es atravesado por una diagonal denominada eje. Al hacer un giro de ese prisma respecto al eje de revolución y dejar registro en un giro de 360 grados de 5 prismas obtenemos la figura 2.
En la figura 3 tenemos la intersección de esos prismas que es un deltoedro, en el número 4 hemos cortado el deltaedro por dos planos paralelos que pasan por vértices de los deltoides, en el 5 hemos separado las tres piezas constituidas por un antiprisma y dos pirámides, en el número 6 cogemos el antiprisma y marcamos un eje de revolución en su cara superior, al hacer un giro de 360 grados de la figura sobre este eje y luego un giro de 180 grados en el plano donde se apoya obtenemos la figura número 7.
En el número 8 superponemos ambos antiprismas obteniendo lo que se llama un antiprisma estrellado, en el número 9 calculamos la intersección de ambos antiprismas obteniendo dos pirámides truncadas unidas por la base.
Mostramos nuevamente las figuras correspondientes a la transformación anterior, en el número 1 tenemos el deltoedro que de su truncamiento obtenemos el antiprisma del número 5, en el 4 hacemos los dos giros, el espacial a 360º y el plano a 180°, en el 3 superponemos ambos prismas teniendo este poliedro compuesto y estrellado y en el 2 calculamos la intersección de ambos antiprismas, obteniendo la nueva figura de dos pirámides truncadas.
En la franja inferior podemos observar las mismas figuras numeradas en azul pero ahora en sistema diédrico con sus proyecciones en planta y alzado.
A la izquierda de la figura observamos un icosaedro regular, a su derecha en amarillo vemos que al prolongar las caras nos salen pirámides sobre cada una de esas caras obteniendo el gran dodecaedro estrellado. Es un método que vimos en los ejercicios anteriores.
Hay otros casos en que obtenemos también un poliedro considerado también estrellado y que sale cóncavo, esto quiere decir que tiene huecos (hiperdodecaedro lonardino), como por ejemplo el dodecaedro regular en el que colocamos las pirámides hacia el interior de la figura, tal y como aparece en el centro de la imagen a tamaño grande y en un alzado.
A la derecha en color rosa y amarillo podemos observar el icosaedro regular y las pirámides adheridas que genera el gran dodecaedro estrellado, mientras que en la base del dibujo en pequeño aparece un icosaedro.
Tenemos un pequeño dodecaedro estrellado que es uno de los poliedros de Kepler, se obtiene simplemente al añadir pirámides sobre cada una de las caras del dodecaedro, el método obtenido está explicado anteriormente, prolongamos las caras del dodecaedro regular y obtenemos planos que se cortan según los lados de cada una de las pirámides.
en el dibujo está en planta, alzado y perfil a la derecha, mientras que tenemos una vista auxiliar en la dirección y sentido de A, tenemos además otra vista auxiliar en la dirección y sentido de B.
Curiosamente al unir los vértices de las pirámides tenemos que se obtiene un icosaedro regular, la recíproca es cierta, si al icosaedro regular le añadimos pirámides a sus caras y unimos los vértices de las mismas, se obtiene el dodecaedro regular.
Tenemos a la derecha un dodecaedro regular qué es un poliedro que tiene 12 caras que son pentágonos regulares (polígonos con lados y ángulos iguales), está en sistema diédrico de manera que las tres vistas de la planta, alzado y perfil están a la derecha mientras que al seguir la dirección de las flechas y el sentido de las mismas tenemos tres nuevas vistas auxiliares.
La misma colocación de las vistas correspondientes a las proyecciones la aplicamos a la figura de color rosa de la izquierda, es un pequeño dodecaedro estrellado que se forma al añadir pirámides a cada una de las caras del dodecaedro regular.
También lo podemos obtener de una forma precisa al prolongar todas las caras del poliedro dodecaedro regular, los planos que pasan por las caras del dodecaedro se cortan formando pirámides de cinco caras laterales y cuya base de cada pirámide es la cara del dodecaedro.
Tenemos nuevamente la misma imagen anterior pero le hemos sumado las vistas del icosaedro regular ( en color azul) , es otro poliedro regular de 20 caras que son triángulos equiláteros y dual del dodecaedro regular, ( figura de color ocre dorado) . Si tomamos los puntos medios del dodecaedro obtenemos el icosaedro y recíprocamente.
Como ambas formas son duales tenemos que si el dodecaedro tiene las tres vistas en planta alzado y perfil exactamente iguales aunque una esté girada 90 grados (el alzado), necesariamente por la alineación de los vértices con los centros de las caras tenemos que el icosaedro también tendrá esa propiedad, es posible colocar tres vistas en planta, alzado y perfil de manera que tengan proyecciones idénticas, con la misma salvedad anterior, que el alzado este girado 90° respecto a la planta y el perfil.
Por lo demás es exactamente igual, siguiendo las direcciones que marcan las líneas se han hecho vistas auxiliares y que nos dan mejor información de la pieza, en el caso C tenemos que el contorno es un decágono regular, al igual que en el caso del dodecaedro en el que también la proyección auxiliar correspondiente B, tiene por contorno un decágono regular.
Observamos la planta y alzado en distintos colores de un pequeño dodecaedro estrellado, como podemos observar el contorno está definido por un conjunto de líneas que definen un polígono también coincidente con el contorno del icosaedro regular.
Si nos fijamos en el centro de cada una de las dos proyecciones tenemos perfectamente definido la figura de un dodecaedro regular, se puede observar bien si imaginamos que le quitamos los triángulos salientes y nos quedamos con la parte central de las figuras.
A la derecha tenemos la misma figura en planta y alzado pero ya con un sombreado en azul.
Las tres figuras de la derecha por su parte superior son distintas proyecciones axonométricas del pequeño dodecaedro estrellado al que se le han unido los vértices para obtener el icosaedro regular.
En el borde superior izquierdo e inmediatamente debajo tenemos dos proyecciones de la figura separadas por dos segmentos rectos, son en realidad vistas auxiliares de la proyección en planta del pequeño dodecaedro estrellado.
Podemos hacer transformaciones de los poliedros estrellados para obtener nuevos poliedros, en este caso se ha cogido un pequeño dodecaedro estrellado, que es el poliedro de la figura anterior, y se le ha practicado un truncamiento a todas las esquinas de las pirámides, de esta manera obtenemos las tres vistas en planta, alzado y perfil e inmediatamente debajo de esta tenemos una perspectiva axonométrica del poliedro.
En esta imagen observamos una perspectiva axonométrica del icosaedro regular (poliedro regular platónico de 20 caras triangulares equiláteras).
Al prolongar todas las aristas de la figura obtenemos conjuntos de tres líneas que definen pirámides sobre cada una de las caras y que determina el gran dodecaedro estrellado, en esta imagen aparece en modo alámbrico para que se pueda percibir que efectivamente la prolongación de las aristas generan ese poliedro estrellado.
Para más coincidencia, los vértices del gran dodecaedro estrellado definen los vértices de un dodecaedro regular que inscribe a ambas figuras.
Vemos el caso de la figura anterior pero en sistema diédrico con las dos proyecciones en planta y alzado de manera que en el alzado se ve en una simetría radial mientras que el cambio de plano (superior derecha), define una vista idéntica a la planta perocon giro a 90º, tal y como habíamos visto en imágenes anteriores.
Nuevamente recalcar que al prolongar las aristas del icosaedro obtenemos el gran dodecaedro estrellado cuyos vértices definen el dodecaedro estrellado,
A su izquierda podemos ver una perspectiva axonométrica de los 3 poliedros de centro coincidente.
Podemos comprobar que al prolongar las aristas del icosaedro obtenemos pirámides apoyadas sobre las caras del icosaedro, de manera que los vértices de estas pirámides definen los vértices de un dodecaedro. La recíproca es cierta, al prolongar las aristas de un dodecaedro también obtendremos como vértices de las pirámides apoyadas en sus caras, un icosaedro, su poliedro dual.
Tenemos nuevamente en la parte derecha las tres proyecciones en planta, alzado y perfil del dodecaedro regular en color dorado, así como tres proyecciones auxiliares. Las proyecciones auxiliares se obtienen al proyectar la figura sobre un plano mediante líneas ortogonales y una vez que ha sido proyectada se gira 90 grados obteniendo una nueva vista.
Con la misma colocación de las figuras tenemos las tres proyecciones del gran dodecaedro estrellado además de las distintas vistas auxiliares a su izquierda en correspondencia con las del dodecaedro regular.
Tenemos además a la derecha y entre los dos poliedros dos nuevas perspectivas del gran dodecaedro estrellado, esta vez a colores diferentes.
Tenemos ahora las tres proyecciones en planta, alzado y perfil del gran dodecaedro estrellado, se marca en el centro la planta y el alzado, además de las líneas básicas que definen el icosaedro del que parten las pirámides qué constituye el poliedro estrellado.
Se hacen además dos proyecciones en el lado izquierdo en el que se puede percibir en su interior el icosaedro regular en rojo y en los vértices del gran dodecaedro estrellado se define la posición de un dodecaedro en color verde.
Tenemos también otra perspectiva en el borde inferior derecho donde se ve el gran dodecaedro estrellado cuyos vértices definen el dodecaedro y en el centro de la figura se insinúan las líneas en color magenta del icosaedro regular, que ha servido para obtener el poliedro estrellado a partir de la prolongación de las caras.
En la figura vemos en planta, alzado y perfil el gran dodecaedro estrellado, y debajo del perfil observamos una perspectiva axonométrica isométrica del poliedro estrellado en color verde. Observamos en el borde superior izquierdo cómo los vértices del poliedro estrellado definen los vértices de un dodecaedro, dibujado en modelo alámbrico en color rojo. Inmediatamente debajo observamos la perspectiva del dodecaedro regular con el gran dodecaedro estrellado inscrito. En la misma figura se insinúa un conjunto de líneas amarillas que corresponden a las aristas de un icosaedro regular, figura que aparece a la izquierda en varios colores. Como podemos observar en el Gran dodecaedro estrellado, el icosaedro amarillo que se insinúa tiene caras triangulares en las que se apoyan las pirámides, que son los brazos del poliedro estrellado, las aristas de estas pirámides son la prolongación de las aristas del icosaedro inscrito.
En
esta imagen volvemos a ver el gran dodecaedro estrellado en planta, alzado y
perfil en el borde inferior mientras que en la parte superior observamos cómo
el dodecaedro tiene sus vértices en los vértices del poliedro estrellado. En
esta imagen y la anterior podemos observar cómo el dodecaedro e icosaedro están
estrechamente vinculados a los dos poliedros estrellados.
Podemos
observar en esta imagen final el pequeño y el gran dodecaedro estrellado, a la
izquierda en color gris y a la derecha en color amarillo, respectivamente.
El
poliedro gris tiene caras pentagonales en las que se apoyan las pirámides, esas
caras pentagonales son realmente las de un dodecaedro -en color verde en la
parte central de la figura. Podemos observar que en el poliedro amarillo
las pirámides se apoyan sobre caras triangulares que corresponden a un
icosaedro- en color azul en la parte central inferior del dibujo.
Como
marcan las flechas de la derecha, podemos relacionar el poliedro estrellado
amarillo con el verde, obteniendo en la intersección de todas las aristas, el otro
poliedro azul. Recíprocamente podemos coger el poliedro gris y el azul y
unir todos los vértices según la disposición alámbrica del estrellado amarillo
y obtener en la interferencia de todas esas líneas el poliedro centrado que
aparece en color rojo, que es el dodecaedro.
En
síntesis, en el poliedro gris, sus vértices definen un icosaedro, pero en su
interior un dodecaedro mientras que el poliedro amarillo define en sus vértices
un dodecaedro, pero en el interior un icosaedro.
Tenemos en distintos colores una proyección ortogonal del gran icosaedro, es un poliedro de Poisont formado a partir del pequeño dodecaedro estrellado al determinar los planos que pasan por vértices, de manera que definen cada uno de ellos un triángulo.
Por ejemplo tenemos el triángulo amarillo que pasa por tres vértices de la figura, todos los triángulos están dispuestos de manera que generan este poliedro estrellado con distintos huecos (cóncavo), a la derecha tenemos el mismo poliedro pero se han marcado líneas negras finas marcando las que son continuación de otras, mientras que en el centro de la figura aparecen las dos proyecciones del icosaedro que definirían la coincidencia entre puntos de los dos cuerpos, ya que los vértices del pequeño dodecaedro estrellado definen un icosaedro regular.
Tenemos un gran icosaedro en planta alzado y perfil, como se puede construir a partir del dodecaedro y el icosaedro tenemos que las vistas tienen la misma orientación, planta y perfil son idénticas mientras que el alzado es igual pero girada 90 grados.
En las dos direcciones AB obtenemos nuevas vistas auxiliares y a partir de la vista B obtenemos una tercera vista auxiliar. Estas proyecciones ortogonales nos facilitan una mejor comprensión del poliedro, observamos por ejemplo en la vista C que las puntas extremas del poliedro estrellado de la estrella definen un hexágono regular, esa misma proyección aparece en la parte inferior del dibujo a distintos colores, de manera que cada color representa un plano del poliedro.
Tenemos luego en la parte derecha 2 proyecciones ortogonales de manera que en los extremos aparecen los vértices que definen un decágono regular, en el caso de la proyección inferior se marcó un plano en ocre para diferenciarlo del resto de la figura.
Tenemos nuevamente el gran icosaedro en planta, alzado y perfil en sistema diédrico. Esta figura se aprecia un poco mejor por el sombreado los volúmenes de las pirámides y sus huecos.
Poliedros de Poinsont: gran dodecaedro
Tenemos ahora el otro poliedro de Poisont, hemos puesto a la derecha el icosaedro en las tres vistas de sistema diédrico para que se vea la relación que existe con las vistas del gran icosaedro que aparece a la izquierda en ocre.
Podemos observar la alineación de los vértices que deja uno sin tocar y de esta manera aparecen pentagramas volumétricos sobre cada uno de los pentágonos que definen cinco vértices del poliedro.
Podemos observar también una perspectiva axonométrica debajo del perfil de la figura.
Tiene 12 caras pentagonales regulares que se cortan unas con otras para generar un sólido que muestra siempre una estrella en relieve sobre cada pentágono de la superficie que conforman 5 puntos.
En esta imagen central tenemos las tres proyecciones en diédrico del dodecaedro y las vistas auxiliares ABC.
A la derecha volvemos a tener las proyecciones del gran dodecaedro. Aunque en la imagen anterior había una relación muy clara entre el icosaedro y el gran dodecaedro ya que bastaba con unir vértices y vaciar cada cara triangular con una pirámide hueca, en este caso no parece tan evidente, tendríamos por ejemplo que prolongar las aristas del dodecaedro de manera que definirán planos que serían lados de pirámides y cuyos vértices formarían el icosaedro, a partir de ahí igual que el ejercicio anterior.
Tenemos un poliedro construido (dodecadodecaedro) a partir de la intersección del dodecaedro e icosaedro, intersección que genera un icosidodecaedro, si tomamos este poliedro que aparece en el borde inferior derecho en líneas rojas mediante modelo alámbrico, y hacemos los pentagramas de sus caras pentagonales vaciando prismas entre cada grupo de tres pentagramas, obtenemos este curioso poliedro.
La variedad para obtener poliedros estrellados a partir de otros poliedros es infinita, y una forma fácil de hacerlo es vaciando de forma homogénea partes del poliedro.
Vemos ahora el icosaedro (poliedro regular formado por 20 caras triangulares equiláteras) en diédrico en el número 1, en el número 2 observamos el primer estrellado del icosaedro después de prolongar pirámides sobre cada una de las caras del icosaedro, como ya dijimos en el ejercicio anterior, las caras de la pirámide son la prolongación de las caras adyacentes a la cara elegida.
En el 3 tenemos a la izquierda una axonometría isométrica del primer estrellado mientras que a la derecha tenemos el icosaedro. En el 4 también según la misma disposición el estrellado y el icosaedro, también en axonometría.
En el 5 mostramos el icosaedro regular con las líneas ocultas y en el 6 lo mismo pero con el estrellado.
Hay una diferencia notable entre el icosaedro y el dodecaedro a la hora de construir sus estrellados, en el icosaedro al prolongar las aristas adyacentes a una cara se forman planos que definen pirámides, estas pirámides son distintas si en vez de prolongar las aristas prolongamos las caras adyacentes, con lo cual de la prolongación de aristas y de caras salen dos poliedros distintos, en el caso de la prolongación de las caras tenemos el primer estrellado del icosaedro mientras que en el caso de la prolongación de las aristas tenemos el gran dodecaedro estrellado. En el dodecaedro regular tanto si prolongamos las aristas próximas a una cara como las caras adyacentes, obtendremos planos que definen una pirámide sobre cada cara, en ambos casos sale un único poliedro, el pequeño dodecaedro estrellado.
En el número 1 observamos el primer estrellado del icosaedro en planta y alzado, en el número 2 hemos unido los vértices superiores de las pirámides y hemos obtenido un dodecaedro, también en diédrico, en el número 3 tenemos el icosaedro regular en sistema diédrico.
En el número 4, 5 y 6 tenemos las perspectivas axonométricas de los poliedros anteriores.
En el número 7 tenemos la relación entre el tamaño del dodecaedro, en modo alámbrico, y el icosaedro.
Para hacer la construcción del primer estrellado del icosaedro tomamos el número 8 y hacemos la bisectriz t de un par de aristas, luego prolongamos la cara a y en la intersección de esta cara que aparece en perfil en el número 8 con la bisectriz t anterior obtenemos un punto V que es el vértice de la pirámide que se apoya en una cara del icosaedro.
De esta manera podemos obtener todas las pirámides sobre cada una de las caras del icosaedro, obteniendo el primer estrellado del icosaedro, esto es, al prolongar las caras y esta prolongación son planos que definen las caras de la pirámide.
En el número 9 podemos ver la construcción con el estrellado y el dodecaedro, mientras que en el 10 tenemos una axonometría del icosaedro y el dodecaedro en modo alámbrico, éste último define los vértices superiores de las pirámides del primer estrellado del icosaedro.
En el centro inferior de la imagen tenemos el icosidodecaedro en color bronce, es un poliedro arquimediano producto de la intersección del dodecaedro e icosaedro. Como estos dos últimos son poliedros duales la intersección es la misma para ambos, también podemos obtener el poliedro si cortamos cualquiera de los dos poliedros, (dodecaedro o icosaedro) con un corte de tipo uno que es aquel que pasa por la mitad de la arista.
Observamos encima en color azul, que si al icosidodecaedro le quitamos prismas definidos por los vértices de cada triángulo, obtenemos ese poliedro que tiene pentagramas en lo que serían las caras pentagonales del icosidodecaedro.
Vemos que se puede convertir en un poliedro estrellado, en la imagen derecha, donde el poliedro de color marrón está formado por pirámides cuyos vértices pasan por los puntos del icosidodecaedro.
Se puede obtener una variedad extrema de formas estrelladas a partir de los dos poliedros duales icosaedro y dodecaedro.
En este caso los vértices de las pirámides de 4 caras laterales coinciden con los del icosidodecaedro, que es la intersección de los dos duales anteriores.
Poliedros estrellados a partir de la prolongación de caras o aristas
Podemos observar en el número 1 la planta y alzado del dodecaedro, al prolongar sus caras obtenemos en la intersección de esos planos que definen las caras, pirámides de base pentagonal regular que provocan el nuevo poliedro estrellado llamado pequeño dodecaedro estrellado (en color amarillo) y que observamos en el número 2.
En el número 3 hemos cogido una de esas pirámides y la hemos colocado en planta y alzado mientras que en 5 vemos la axonometría isométrica del dodecaedro y en el 4 la del pequeño dodecaedro estrellado en color amarillo, cuyos vértices definen el icosaedro regular en color azul.
En el número 2 hemos unido los vértices superiores de las pirámides obteniendo el icosaedro regular.
Como podemos observar la arista del icosaedro regular llamada b, dividido entre la arista lateral a de una de esas pirámides reproduce como cociente el número de oro, 1,61803398, pero también obtenemos el número de oro si dividimos la arista de la pirámide a entre la arista del dodecaedro que en el dibujo llamamos c.
Como podemos observar las tres aristas están relacionadas con el número de oro.
En el número uno tenemos un dodecaedro que contiene a 5 tetraedros regulares, la intersección de los mismos produce el icosaedro regular, en el número 2 podemos observar el tetraedro regular en color verde que contiene a la cara naranja del icosaedro regular.
Si prolongamos los lados del triángulo equilátero veremos que corta a las aristas del tetraedro dividiendo las mismas en segmentos áureos, por eso podemos ver que b partido por a es igual al número de oro.
En el número 3 tenemos un icosaedro regular y en el 4 tenemos el gran dodecaedro estrellado cuyos vértices superiores de las pirámides son los puntos del dodecaedro regular.
En el número 5 podemos ver los 5 tetraedros que definen en el interior el icosaedro regular como núcleo o intersección de los mismos (icosaedro regular ).
En el número 1 tenemos un icosaedro regular de arista a, en el 2 hemos marcado una cara en color violeta y las tres adyacentes en amarillo, al prolongar las aristas que quedan entre los tres triángulos amarillos obtenemos las tres aristas de la pirámide que se apoya en la cara de color violeta.
En el número 3 hemos colocado esas pirámides sobre el icosaedro regular obteniendo el gran dodecaedro estrellado.
En el número 4 hemos obtenido otro poliedro estrellado a partir del icosaedro pero en vez de prolongar las aristas próximas a una cara hemos prolongado las caras y en la intersección de los mismos obtenemos esas pequeñas pirámides que aparecen en el primer estrellado del icosaedro, es el poliedro de color amarillo del número cuatro.
En el número 5 aparece la perspectiva axonométrica isométrica del gran dodecaedro estrellado en cuyos vértices se puede observar que inciden los vértices del dodecaedro regular que inscribe al poliedro estrellado. A la arista del dodecaedro le hemos llamado b. La dimensión de esta arista b del dodecaedro es idéntica a la arista mayor m de la pirámide que se apoya en cada cara del icosaedro.
Si dividimos la dimensión b entre la arista a del icosaedro azul obtenemos el número de oro. Análogamente si dividimos la arista lateral m de una de las pirámides que se apoyan en el icosaedro y la dividimos entre la arista a del icosaedro obtenemos también el número de oro.
En el número 6, 7, 8 y 9, observamos de forma correspondiente el icosaedro regular en color azul, el gran dodecaedro estrellado en color magenta formado a partir del anterior con pirámides apoyadas en sus caras, en el 8, el primer estrellado del icosaedro en color amarillo, a partir de la prolongación de sus caras obtenemos sus pirámides, y en el 9 observamos el icosaedro regular azul dentro del dodecaedro regular que se obtiene como intersección de los 5 tetraedros inscritos en el dodecaedro regular.
En el número 1 tenemos la pirámide que se coloca sobre cada cara del icosaedro, en el número 2 en color amarillo tenemos el icosaedro regular, en el número tres tenemos el gran icosaedro regular en color magenta, formado a partir de las pirámides del número 1 apoyadas en las caras del icosaedro del número 2. Los vértices del gran icosaedro definen un dodecaedro regular.
En el número 4 tenemos el icosaedro en azul como intersección de los tetraedros regulares inscritos en el dodecaedro regular que inscribe al gran dodecaedro estrellado.
Las cuatro figuras están dibujadas en planta y alzado y hemos denominado a la arista del icosaedro con la letra a, a la del dodecaedro con la letra b, ésta tiene la misma dimensión que la arista lateral de la pirámide número 1.
El cociente entre b y a es el número de oro.
En el número 5 observamos el gran dodecaedro estrellado en una proyección ortogonal cilíndrica.
En el número 1 tenemos un icosaedro regular, poliedro que tiene las caras que son 20 triángulos equiláteros, al colocar pirámides sobre sus caras obtenemos el número 2 que es el gran dodecaedro estrellado, uno de los poliedros de Kepler, al unir los vértices superiores de cada pirámide obtenemos un dodecaedro regular que es un poliedro que tiene 12 caras que son pentágonos regulares.
En el número 3 tenemos el dodecaedro regular en el que hemos inscrito un tetraedro regular, poliedro que tiene 4 caras que son triángulos equiláteros.
Sobre ese poliedro regular podemos construir un icosaedro de manera que cuatro caras triangulares del icosaedro pasan por el tetraedro regular.
Según la disposición del icosaedro en el número 4 tenemos la proyección correspondiente del gran icosaedro en el número 5 al que hemos incorporado el tetraedro regular interno, en el número 6 y 7 tenemos perspectivas axonométricas de ambos poliedros, el icosaedro y el estrellado.
En el número 8 y 9 tenemos la misma disposición para el icosaedro y el estrellado mientras que en el 10 podemos observar lo mismo que en el número 3 pero con las caras del tetraedro coloreadas y las dos caras del icosaedro que se ven que pertenecen al tetraedro regular.
Si cogemos los 5 tetraedros y los colocamos según la disposición del número 11, dentro del dodecaedro regular, obtenemos en la intersección de los 5 tetraedros el icosaedro, en el número 12 tenemos una perspectiva axonométrica de la misma figura con los 5 tetraedros y el dodecaedro externo, dejando ver como núcleo interno de intersección de los mismos el icosaedro regular centrado en la figura.
A continuación podemos ver una forma de construir poliedros estrellados a partir del giro de figuras elementales como puede ser del cubo.
Al hacer un giro del cubo respecto al eje que cruza la figura por entre dos puntos medios de aristas opuestas, al dejar registro de 5 cubos obtenemos la forma estrellada en poliedro compuesto del borde superior izquierdo.
Vamos a proceder de la misma forma para los ejercicios siguientes, una vez que tenemos la forma compuesta de los 5 cubos calculamos la intersección y obtenemos la figura del borde superior derecho, una forma parecida a un deltoedro al que se le incorpora un prisma lateral con caras hexagonales.
Repetimos el mismo procedimiento, un dodecaedro con su eje que es una recta de punta y el giro del mismo en una vuelta completa hasta dejar registro de tres dodecaedros, tenemos en el centro de la figura un poliedro estrellado compuesto de los tres dodecaedros mientras que más a la derecha podemos observar la intersección de los mismos.
A la intersección de un conjunto de poliedros que forman uno compuesto, se le llama núcleo.
Siguiendo el mismo procedimiento tomamos el octaedro y respecto al eje dejamos registro de 7 octaedros tras un giro de 360°, de esta manera obtenemos el poliedro compuesto estrellado que aparece en el borde superior izquierdo, mientras que a la derecha obtenemos la intersección de los octaedros.
En la parte inferior las perspectivas de los mismos.
Otra vez, tomamos un poliedro de Catalan en este caso, y lo giramos respecto a un eje hasta dejar registro de seis rombododecaedros.
El poliedro estrellado aparece en el centro superior de la imagen y su intersección a la derecha. En la parte inferior aparecen las perspectivas de ambos.
El rombododecaedro es un poliedro dual del cuboctaedro (poliedro arquimediano), es un poliedro que apilado junto a otros iguales acaba por llenar el espacio sin dejar huecos, si le añadimos pirámides a sus caras de manera que cada del lado de la pirámide sea la prolongación de las caras anejas, obtendremos el rombododecaedro estrellado que también llena el espacio con otros poliedros iguales.
Siguiendo con el mismo procedimiento, un tetraedro atravesado por un eje central que atraviesa aristas opuestas por el punto medio gira dejando registro de 7 tetraedros, en el centro superior tenemos la planta y alzado de las 7 figuras superpuestas en un poliedro compuesto y con apariencia de estrellado y a la derecha obtenemos la intersección que es un deltoedro.
En la parte inferior tenemos las dos perspectivas de ambas figuras
Nuevamente hacemos el giro ahora de una pirámide con el eje tal y como aparece en el borde superior derecho, entre los puntos medios de dos aristas opuestas.
El giro de la figura y registro de cinco pirámides provoca a la izquierda en planta y alzado esa composición de pirámides mientras que la intersección es una figura parecida a una bipirámide pero con menos regularidad.
Tomamos ahora para el giro y registro 5 dodecaedros en torno a un eje vertical cuya composición genera la figura 1 mientras que la intersección provoca la figura 2, ambas en planta y alzado.
Al tomar este último poliedro y hacer un giro del mismo a 90 grados y calcular la intersección entre el original y el segundo obtenemos la figura 3, que es el poliedro compuesto de ambos, mientras que en la figura 4 tenemos la intersección de los 2 poliedros producto de los 10 dodecaedros.
Tomamos nuevamente el cubo y el eje en la misma disposición, como hacemos el registro ahora de 4 cubos la intersección no tiene una apariencia de deltoedro como en el caso anterior sino de bipirámide.
Por regla general para números pares obtenemos esta apariencia de bipirámide y para números impares la apariencia de deltoedro.
Vídeos de poliedros estrellados
De gran icosaedro a icosaedro
De gran icosaedro a gran dodecaedro estrellado 3
De gran icosaedro a pequeño dodecaedro estrellado
De gran icosaedro a gran dodecaedro estrellado
De gran dodecaedro a pequeño dodecaedro estrellado 2
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De dodecaedro a gran dodecaedro
